TÌM TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-tp

I. Trị riêng, vectơ riêng:

1.1 Định nghĩa: mang đến A là ma trận vuông cấp cho n trên trường số

*
. Số
*
được điện thoại tư vấn là giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng rẽ – kí hiệu GTR) của ma trận A, nếu như tồn tại một vectơ
*
sao cho:
*

Khi đó vectơ u được điện thoại tư vấn là vectơ riêng (VTR) của ma trận A ứng với cái giá trị riêng

*

1.2 Tính chất:

1. Giá trị riêng rẽ

*
đó là nghiệm của phương trình $latex det(A-lambdaI) = 0 &fg=ff0000$ (1) được call là phương trình đặc thù của ma trận A.

Bạn đang xem: Tìm trị riêng của ma trận

2. Một quý giá riêng bao gồm thể có rất nhiều vectơ riêng.

3. Mỗi vectơ riêng biệt chỉ ứng với một cực hiếm riêng duy nhất.

4. Ma trận A là nghiệm của đa thức quánh trưng của chính nó (trong trường phù hợp này nhiều thức đặc thù được coi là đa thức ma trận, nghĩa là đổi thay số của nó không phải là trở nên số thực mà là biến hóa ma trận)

5. Giả dụ

*
là cực hiếm riêng của ma trận A thì A ko khả nghịch. Ngược lại, nếu đông đảo GTR của A đa số khác không thì A khả nghịch.

6. Trường hợp

*
là GTR của ma trận A thì
*
là cực hiếm riêng của ma trận
*

Chứng minh:

1. Số

*
là trị riêng rẽ của A khi và chỉ còn khi
*
. Suy ra: hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
*
có nghiệm
*
.

2. Điều này là phân biệt vì dựa vào định nghĩa và đặc điểm 1 thì hệ phương trình

*
có vô số nghiệm.

3. Mang sử vectơ riêng

*
ứng với 2 trị riêng biệt
*
.

Ta phải chứng minh:

*
. Thật vậy, ta bao gồm :

*

Mà:

*
. Vị đó:
*

4. Ta có:

*

5. Bởi vì

*
là GTR của ma trận A. Bởi đó:

*
.

Chứng tỏ A suy biến hóa (không khả nghịch).

Xem thêm: Mắt Cận Thị Khi Không Điều Tiết Có Tiêu Điểm, Mắt Cận Thị Là Mắt Khi Không Điều Tiết

6. Ta bao gồm

*
. Vày đó:

*
.

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ tác dụng trên, ta nhận ra có 1 cách để tính cấp tốc

*
. Đó là ta tìm đa thức đặc trưng
*
của ma trận A. Sau đó, tính cực hiếm của P(a).

1.3. Phương thức giải search trị riêng, vectơ riêng:

Bước 1: Giải phương trình đặc trựng

*
tìm giá trị riêng.

Bước 2: Tìm vectơ riêng rẽ ứng với cái giá trị riêng biệt

*
:

Ứng với mỗi quý hiếm riêng

*
vừa kiếm tìm được, ta giải hệ phương trình đường tính thuần tuyệt nhất
*

Lưu ý: theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn tất cả vô số nghiệm. Vị đó, nếu bạn giải pt (2) nhưng vô nghiệm hoặc gồm nghiệm duy nhất thì cần kiểm tra lại.

1.4 không khí con riêng biệt ứng với GTR

*

Các vetơ riêng rẽ của ma trận A ứng với cái giá trị riêng rẽ

*
với vectơ 0 tạo ra thành 1 không khí con được hotline là không khí con riêng rẽ ứng cùng với
*
.

Ký hiệu:

*

Nếu quý giá riêng

*
là nghiệm bội k thì
*

1.5 những ví dụ :

Ví dụ 1. Search GTR, VTR của ma trận A:

*
" class="latex" />

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

*

Giải phương trình quánh trưng, ta có:

*

Bước 2: Tìm những VTR:

1. Ta tìm những VTR ứng với mức giá trị riêng

*

Ứng với mức giá trị riêng rẽ

*
ta bao gồm VTR
*
là nghiệm của hệ phương trình:

*

Vậy VTR ứng với GTR

*
tất cả dạng
*

2. Ta tìm những VTR ứng với mức giá trị riêng

*

Ứng với giá trị riêng

*
ta gồm VTR
*
là nghiệm của hệ phương trình:

*

Vậy VTR ứng cùng với GTR

*
tất cả dạng
*

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A:

*
" class="latex" /> , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

*

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy vậy do A là ma trận phức bắt buộc ta kiếm tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình quánh trưng, ta có:

*

Bước 2: Tìm những VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng biệt

*

Ứng với giá trị riêng biệt

*
ta tất cả VTR
*
là nghiệm của hệ phương trình:

*

Vậy VTR ứng cùng với GTR

*
có dạng
*

2. Ta tìm các VTR ứng với cái giá trị riêng

*

Ứng với giá trị riêng rẽ

*
ta gồm VTR
*
là nghiệm của hệ phương trình:

*

Vậy VTR ứng cùng với GTR

*
tất cả dạng
*

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:

*
" class="latex" />

b. Dựa vào đa thức sệt trưng, minh chứng A khả nghịch và chỉ ra biểu thức khẳng định

*

c. Tính

*

d. Kiếm tìm GTR, VTR của A.

Xem thêm: Cho Thuê Nhà Riêng Tại Phường Hiệp Ninh Tây Ninh, Cho Thuê Nhà Nguyên Căn Tây Ninh T4/2022

Giải.

a. Tựa như như những ví dụ trên, ta tiện lợi tìm được nhiều thức đặc trưng của ma trận A: