Tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận

     

• các nghiệm thực của nhiều thức đa thức đặc thù PA(λ) call là giá trị riêng của ma trận

A.

• nếu như λ0 là 1 trong giá trị riêng rẽ của A thì det(A − λ0I) = 0. Cho nên vì thế hệ phương trình thuần hất:




Bạn đang xem: Tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận

*
10 trang
*
haha99
*
11038
*
1Download


Xem thêm: Thần Kỳ 9 Tác Dụng Của Dầu Gấc Đối Với Da Mặt CủA PháI ĐẹP

Bạn sẽ xem tư liệu "Bài 16. Vectơ riêng - quý giá riêng của ma trận và của phép chuyển đổi tuyến tính - chéo cánh hóa", để download tài liệu cội về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD sinh sống trên


Xem thêm: Đi Tìm #1 Chế Độ An Lành Mạnh (Healthy Food), Hướng Dẫn Chế Độ Ăn Healthy Cho Người Bắt Đầu

ĐẠI SỐ CƠ BẢN(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)Bài 16. Vectơ riêng biệt - cực hiếm riêng của ma trậnvà của phép chuyển đổi tuyến tính - chéo cánh hóaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 tháng 2 năm 20061 Vectơ riêng - cực hiếm riêng của ma trận1.1 những khái niệm cơ bảnCho A là ma trận vuông cấp cho n, (A ∈Mn(R))a11 a12 . . . A1na21 a22 . . . A2n....... . ....an1 an2 . . . AnnKhi đó• Đa thức bậc n của vươn lên là λ:PA(λ) = det(A− λI) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . A1na21 a22 − λ . . . A2n....... . ....an1 an2 . . . Ann − λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)nλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ1 + a0gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.• những nghiệm thực của nhiều thức nhiều thức đặc trưng PA(λ) gọi là giá trị riêng của ma trậnA.• giả dụ λ0 là 1 giá trị riêng biệt của A thì det(A − λ0I) = 0. Vì vậy hệ phương trình thuầnnhất:(A− λ0I) x1...xn = 0...0 (1)1có vô vàn nghiệm. Không khí nghiệm của hệ (1) điện thoại tư vấn là không khí con riêng rẽ của ma trậnA ứng với cái giá trị riêng biệt λ0. Những vectơ khác không là nghiệm của hệ (1) call là các vectơriêng của ma trận A ứng với cái giá trị riêng biệt λ0. Những vectơ chế tác thành một đại lý của khônggian riêng rẽ (tức là những vectơ chế tác thành hệ nghiệm cơ bản của hệ (1)) call là những vectơ riêngđộc lập đường tính ứng với giá trị riêng rẽ λ0.1.2 Ví dụTìm nhiều thức đặc trưng, vectơ riêng, quý giá riêng của ma trận:A = 0 1 11 0 11 1 0Giải• Ta gồm PAλ =∣∣∣∣∣∣−λ 1 11 −λ 11 1 −λ∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 3λ+ 2Vậy nhiều thức đặc thù của ma trận A là PA(λ) = −λ3 + 3λ+ 2• PA(λ) = 0⇔ −λ3 + 3λ+ 2 = 0⇔ (λ+ 1)2(2− λ) = 0⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2.Vậy ma trận A có 2 cực hiếm riêng là λ = −1, λ = 2.• Để tra cứu vectơ riêng biệt của A, ta xét nhì trường hợp:– Ứng với giá trị riêng λ = −1.Để tra cứu vectơ riêng rẽ ứng với giá trị riêng λ = −1, ta giải hệ: 1 1 11 1 11 1 1∣∣∣∣∣∣000Hệ tất cả vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2, x3. Nghiệm tổng thể của hệ là:x1 = −a− b, x2 = a, x3 = b. Vì đó, không gian con riêng biệt của A ứng với giá trị riêngλ = −1 là V−1 = a, b ∈ R.Các vectơ riêng biệt của A ứng với giá trị riêng rẽ λ = −1 là toàn bộ các vectơ gồm dạng:(−a− b, a, b) với a2 + b2 6= 0 (vì vectơ riêng nên khác không).Ta gồm dimV−1 = 2 với A gồm 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với cái giá trị riêngλ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1).– Ứng với cái giá trị riêng biệt λ = 2.Để kiếm tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng biệt λ = 2, ta giải hệ: −2 1 11 −2 11 1 −2∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −21 −2 1−2 1 1∣∣∣∣∣∣000−→ 1 1 −20 −3 30 −3 3∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −20 −3 30 0 0∣∣∣∣∣∣0002Hệ gồm vô số nghiệm dựa vào tham số x3. Nghiệm tổng quát của hệ là: x1 = a,x2 = a, x3 = a. Bởi đó, không khí con riêng rẽ của A ứng với giá trị riêng biệt λ = 2 làV2 = a ∈ R.Các vectơ riêng biệt của A ứng với mức giá trị riêng biệt λ = 2 là toàn bộ các vectơ gồm dạng:(a, a, a) cùng với a 6= 0.Ta có dimV2 = 1 và A có 1 vectơ riêng chủ quyền tuyến tính ứng với cái giá trị riêng λ = 2là α3 = (1, 1, 1).Chú ý rằng, nếu như xét cả hai trường hợp, A có tất cả 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính làα1, α2, α3.2 chéo hóa ma trận2.1 Ma trận đồng dạng• đến A, B là các ma trận vuông cấp cho n. Ta nói A đồng dạng với B, ký hiệu A ∼ B, nếutồn trên ma trận T vuông cung cấp n, không suy biến làm thế nào để cho B = T−1AT . Chúng ta đọc hoàn toàn có thể dễdàng đánh giá rằng quan hệ giới tính đồng dạng là một quan hệ tương đương.• tình dục đồng dạng bảo toàn không hề ít các đặc điểm của ma trận, chẳng hạn nếu A ∼ Bthì detA = detB, rankA = rankB, PA(λ) = PB(λ), cực hiếm riêng của A và B là nhưnhau...2.2 chéo cánh hóa ma trận• Định nghĩa. đến A là ma trận vuông cung cấp n.Ta nói ma trận A chéo cánh hóa được nếu như A đồng dạng với cùng 1 ma trận chéo. Bởi vậy matrận A chéo hóa được ví như tồn tại ma trận T vuông cung cấp n ko suy biến sao để cho T−1ATlà ma trận chéo.Chéo hóa ma trận A có nghĩa là tìm ma trận T vuông cung cấp n ko suy biến sao để cho T−1ATlà ma trận chéo.• Ý nghĩa của việc chéo hóa ma trậnNếu ma trận A chéo hóa được thì việc phân tích các đặc điểm (bảo toàn qua quan tiền hệđồng dạng) của ma trận A dẫn mang đến việc phân tích các đặc điểm đó trên một ma trậnchéo với như vậy sự việc sẽ trở nên đơn giản và dễ dàng hơn nhiều.Muốn biết ma trận A có chéo cánh hóa được hay không, ta tất cả định lý sau:• Định lý (Điều kiện yêu cầu và đủ nhằm một ma trận vuông chéo cánh hóa được)Ma trận A vuông cấp n chéo cánh hóa được khi còn chỉ khi A có đủ n vectơ riêng hòa bình tuyếntính, khi và chỉ còn khik∑i=1dimVλi = n, trong các số ấy λ1, . . . , λk là toàn bộ các cực hiếm riêng của A.32.3 Cách chéo cánh hóa một ma trậnCho A là ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A, ta làm cho như sau:Tìm các giá trị riêng biệt và những vectơ riêng tự do tuyến tính của A. Khi đó xảy ra một tronghai kỹ năng sau:1. Ví như tổng số vectơ riêng hòa bình tuyến tính của A bé hơn n (tức làk∑i=1dimVλi