Tích phân toán cao cấp

     

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• thế được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm cho được bài bác tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple nhằm tính tích phân.




Bạn đang xem: Tích phân toán cao cấp

*

bài bác 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN phương châm • vậy được những khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • làm cho được bài bác tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple nhằm tính tích phân.Thời lượng văn bản • bài xích này giới thiệu với chúng ta các định nghĩa tíchBạn buộc phải dành từng tuần khoảng tầm 90phút để đọc kỹ kim chỉ nan và khoảng phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong tầm hai tuần nhằm rộng với các phương pháp tính các loại tích phânlàm bài tập để nắm vững nội dung này.bài học này. • Phép tính tích phân là một trong những trong hai phép tính cơ bạn dạng của giải tích, có nhiều ứng dụng trong câu hỏi kỹ thuật, tởm tế…Hướng dẫn học• bạn nên đọc kỹ lý thuyết để thế được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác minh và các loại tích phân suy rộng.• chúng ta nên làm càng nhiều bài tập càng giỏi để nhuần nhuyễn phuơng pháp tính các loại tích phân đó. 43 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. Có mang về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm bài bác này trình bày về phép tính tích phân, đó là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Trường hợp ta cho trước một hàm số f (x) thì tất cả tồn tại hay là không một hàm số F(x) tất cả đạo hàm bởi f (x) ? trường hợp tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) bên trên một khoảng chừng D nếu: F "(x) = f (x), ∀x ∈ D , tuyệt dF(x) = f (x)dx . Lấy ví dụ như 1: Vì: (sin x) " = cos x, ∀x ∈ R buộc phải sin x là nguyên hàm của hàm số cos x bên trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + "= + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x trên R ±1 . Nên: arctg x + + là một trong nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý tiếp sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số mang đến trước không hẳn là duy nhất, nếu như biết một nguyên hàm thì ta gồm thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm không giống của hàm số đó. Định lý: trường hợp F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng chừng D thì: Hàm số F(x) + C cũng là 1 trong nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là 1 trong hằng số bất kỳ. Ngược lại, đa số nguyên hàm của hàm số f (x) đầy đủ viết được bên dưới dạng F(x) + C , trong số ấy C là 1 trong những hằng số. Triệu chứng minh: trả sử C là một trong hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) " = F "(x) = f (x) với mọi x ∈ D . Theo tư tưởng F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng chừng D. Ngược lại, trả sử ϕ( x) là 1 nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số f (x) trên khoảng chừng D. Ta có: < F(x) − ϕ(x)> " = F"(x) − ϕ "(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận giá trị hằng số trên khoảng D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Do vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn toàn bộ các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C khớp ứng cho ta một nguyên hàm.44 bài bác 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân biến động Định nghĩa: Tích phân cô động của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) + C ; với x ∈ D ; trong các số ấy F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f (x) và C là 1 hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f (x)dx được ký kết hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân với hàm số f được hotline là hàm số dưới vết tích phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Ví dụ 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . X x3.1.1.3. Các đặc thù cơ phiên bản của tích phân khẳng định ⎡ f (x)dx ⎤ " = f (x) xuất xắc d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F "(x)dx = F(x) + C tuyệt ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số không giống 0) ∫ dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Nhì tính chất cuối cùng là đặc điểm tuyến tính của tích phân bất định, ta hoàn toàn có thể viết chung: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong số ấy α, β là những hằng số không đồng thời bằng 0 Các đặc điểm nói bên trên được chứng tỏ trực tiếp từ quan niệm của tích phân bất định.3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ phiên bản Các cách làm tích phân tiếp sau đây được minh chứng bằng định nghĩa: dx x α+1 ∫ = ln x + C ∫ x dx = α + C, (α ≠ −1) x α +1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx ∫ cos = tg x + C ∫ sin = − cotg x + C 2 x 2 x ∫ e dx = e +C x x ax ∫ a dx = + C, (a > 0, a ≠ 1) x ln a dx 1 x ∫x = arctg + C a+x dx 1 +a 2 2 a a ∫a = ln +C −x 2a a − x 2 2 dx x ∫ = arcsin +C dx a a −x2 2 ∫ = ln x + x 2 + α + C x +α2 45 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.2. Các phương thức tính tích phân bất định3.1.2.1. Cách thức khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần áp dụng các cách thức thích hợp để mang về các tích phân đã bao gồm trong bảng những công thức tích phân cơ bạn dạng ở trên. Một phương pháp đơn giản là cách thức khai triển. Phương thức này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx . Ta đối chiếu hàm số dưới lốt tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số dễ dàng và đơn giản mà đã hiểu rằng nguyên hàm của chúng, những hằng số được chuyển ra bên ngoài dấu tích phân. Lấy ví dụ 3: 3 45 ∫ (2x x − 3x )dx = 2∫ x 2 dx − 3∫ x dx = x 2 − x3 + C 2 2 5 x4 ⎛ 1⎞ dx ∫⎜ 2sin x + x3 − ⎟dx = 2∫ sin xdx + ∫ x3dx − ∫ = −2cos x + − ln x + C x⎠ x 4 ⎝ ⎛1 1⎞ dx 1 ∫x = ∫⎜ 2 − dx = − + arctg x + C . 2⎟ (1 + x ) ⎝ x 1+ x ⎠ 2 2 x3.1.2.2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân thừa nhận xét: ∫ f (u)du = F(u) + C ; trong các số đó Nếu: ∫ f (x)dx = F(x) + C thì u = u(x) là một trong những hàm số khả vi liên tục. Ta rất có thể kiểm tra lại bằng phương pháp đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng đặc điểm này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu vết phân g(x)dx về dạng: g(x)dx = f (u(x))u "(x)dx trong những số ấy f (x) là 1 trong hàm số nhưng ta thuận lợi tìm được nguyên hàm F(x) . Khi ấy tích phân nên tính trở thành: ∫ g(x)dx = ∫ f (u(x))u "(x)dx = ∫ f (u(x))du = F(u(x)) + C ( a ≠ 0 ) vào trường hợp đơn giản và dễ dàng u (x) = ax + b thì du = adx , cho nên nếu 1 ∫ f (x)dx = F(x) + C ta suy ra: ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ( a ≠ 0 ) lấy ví dụ 4: 1 ∫ sin axdx = − a cos ax + C . ( a ≠ 0 ) eax + C ( a ≠ 0) ∫ e dx = ax a ∫e cos xdx = ∫ esin x d(sin x) = esin x + C sin x46 bài 3: Phép tính tích phân tg 3 x dx ∫ cos4 x = ∫ (1 + tg x)d(tg x) = 3 + tg x + C 2 ) +C ( 1 1 3 ∫ x 1 + 3x dx = ∫ 1 + 3x d(1 + 3x ) = 9 1 + 3x 2 2 2 2 6 ⎛π ⎞ arccos x arcsin x I=∫ dx = ∫ ⎜ − arcsin x ⎟ arcsin xd(arcsin x) ⎝2 ⎠ 1− x2 π 1 ⇒I= arcsin 2 x − arcsin 3 x + C . 4 33.1.2.3. Cách thức đổi thay đổi Xét tích phân I = ∫ f (x)dx ; trong những số ấy f (x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển thanh lịch tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép thay đổi biến làm sao để cho biểu thức dưới vết tích phân đối với biến t hoàn toàn có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản dễ dàng hơn. Ta chia cách thức đổi vươn lên là làm nhì trường hợp là đổi trở thành xuôi x = ϕ(t) với đổi đổi thay ngược t = ψ(x) . • Phép đổi phát triển thành thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) ; trong số đó ϕ( t) là một hàm số đơn điệu, và tất cả đạo hàm liên tục. Khi đó ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ f < ϕ(t) > ϕ "(t)dt giả sử hàm số g(t) = f < ϕ(t) > ϕ "(t) bao gồm nguyên hàm là hàm G(t) , và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) , ta có: I = ∫ g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G < h(x) > + C . • Phép đổi trở thành thứ hai: Đặt t = ψ(x) , trong các số ấy ψ (x) là một hàm số tất cả đạo hàm liên tục, cùng ta viết được hàm f (x) = g < ψ (x) > ψ "(x) . Khi ấy ta có: CHÚ Ý : khi tính tích phân biến động I = ∫ f (x)dx = ∫ g < ψ(x) > ψ "(x)dx . Bằng cách thức đổi vươn lên là số, sau khi tìm kiếm được nguyên đưa sử hàm số g (t) tất cả nguyên hàm là hàm số hàm theo biến đổi số mới, yêu cầu G (t) , ta có: đổi lại thành hàm số của phát triển thành I = G < ψ (x) > + C . Số cũ. Ví dụ 5: x a) Tính tích phân: I1 = ∫ dx 2−x ⎛ π⎞ Đặt x = 2sin 2 t, t ∈ ⎜ 0, ⎟ , ta tính được: ⎝ 2⎠ dx = 4sin t cos tdt ; 47 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ 2sin 2 t x = = tg t . 2−x 2(1 − sin 2 t) x Suy ra: I1 = ∫ dx = 4 ∫ sin 2 tdt = 2t − sin 2t + C . 2−x x Đổi lại vươn lên là x, cùng với t = arcsin , ta thu được: 2 x x I1 = ∫ dx = 2 arcsin − 2x − x 2 + C . 2−x 2 e2 x b) Tính tích phân I 2 = ∫ dx . Ex + 1 Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt , ta có: ⎛ 1⎞ t I2 = ∫ dt = ∫ ⎜1 − ⎟ dt = t − ln t + 1 + C . T +1 ⎝ t +1 ⎠ Đổi lại biến hóa x, ta được: I 2 = e x − ln(e x + 1) + C . Dx c) Tính tích phân I3 = ∫ . 1 + 4x Đặt t = 2− x ⇒ dt = −2− x ln 2dx , tích phân trở thành: −dt 1 dt 1 I3 = ∫ ∫ t 2 + 1 = − ln 2 ln(t + t + 1) + C . =− 2 ln 2 −2 t ln 2 1 + t 1 ln(2− x + 4− x + 1) + C . Đổi lại trở nên x, ta có: I3 = − ln 23.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số gồm đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv) = ∫ udv + ∫ vdu . Suy ra : ∫ udv = uv − ∫ vdu . Xét tích phân: I = ∫ f (x)dx . Ta cần biểu diễn: f (x)dx = < g(x)h(x)> dx = g(x) < h(x)dx > = udv và vận dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x); v = ∫ h(x)dx . Ta thường xuyên sử dụng cách thức này khi biểu thức dưới vết tích phân cất một trong các hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm con số giác, hàm con số giác ngược. Ráng thể: • trong các tích phân ∫ x n ekx dx; ∫ x n sin kxdx; ∫ x n cos kxdx , n nguyên dương, ta hay chọn: u = x n48 bài xích 3: Phép tính tích phân ∫x α• trong các tích phân ln n xdx , α ≠ −1 với n nguyên dương, ta thường chọn u = ln n x• vào tích phân ∫ x n arctg kxdx; ∫ x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta hay chọn: u = arctg kx hoặc u = arcsin kx ; dv = x n dx .Ví dụ 6:Tính các tích phân bất định:a) I1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .b) I 2 = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x , ta được: I 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx . Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x , ta được: ( ) I2 = −x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ sin xdx = −x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C. Xe x dxc) I3 = ∫ . (x + 1) 2 dx 1 Đặt u = xe cộ x ;dv = ⇒v=− ;du = (x + 1)e x dx , ta được: (x + 1) x +1 2 xe pháo x xe cộ x ex + ∫ e x dx = − I3 = − + ex + C = +C. X +1 x +1 x +1 xe pháo x dxd) I 4 = ∫ . 1 + ex e x dx Đặt 1 + e x = t ⇒ = 2dt ; ta có: 1 + ex I4 = 2∫ < ln(t − 1) + ln(t + 1)> dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C . Đổi lại trở thành x ta có: ) ( xe x dx ∫ = 2(x − 2) 1 + e x + 4 ln 1 + 1 + e x − 2x + C . 1+ e x x arcsin xe) I5 = ∫ dx . 1− x2 49 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ xdx dx Đặt u = arcsin x;dv = ⇒ du = ; v = − 1 − x 2 , ta được: 1− x 1− x 2 2 I5 = − 1 − x 2 arcsin x + ∫ dx = − 1 − x 2 arcsin x + x + C . F) I6 = ∫ e x cos 2xdx . Đặt u = cos 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = −2sin 2xdx ; ta được: I6 = e x cos 2x + 2 ∫ e x sin 2xdx . Đặt u = sin 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = 2 cos 2xdx ; ta được: ( ) I6 = ex cos2x + 2 ex sin2x − 2∫ ex cos2xdx = ex cos2x + 2ex sin2x − 4I6 + 5C . Ex ( cos 2x + 2sin 2x ) + C . Vậy: I6 = 5 trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân biến động của một số trong những dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm vị giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân những hàm này.3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: P(x) Một hàm phân thức hữu tỷ là 1 trong những hàm số bao gồm dạng: f (x) = , Q(x) trong những số ấy P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ tất cả bậc của nhiều thức ở tử số bé dại hơn bậc của đa thức ở chủng loại số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bởi phép phân chia đa thức, phân tách P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r (x) f (x) = H(x) + Q(x) trong các số đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư vào phép chia. R (x) khi đó là một trong phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được Q(x) tìm kiếm bởi phương pháp tích phân cơ bản: x n +1 ∫ x dx = + C ; n nguyên dương. N n +1 r (x) Ta sẽ xét việc tìm kiếm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn sót lại trong nhì trường hòa hợp Q(x) quánh biệt: chủng loại số của phân thức là nhiều thức hàng đầu hoặc đa thức bậc hai. Giữa những trường hợp mẫu mã số tinh vi hơn, bọn họ sử dụng phương thức hệ số bất định để lấy về hai trường vừa lòng trên.50 bài xích 3: Phép tính tích phân3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số số 1 Xét tích phân: P(x) ∫ ax + b dx . Trong đó P(x) là 1 đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ngơi nghỉ dạng sau: P(x) C = Q(x) + . Ax + b ax + b bọn họ sử dụng hai cách làm sau để tính tích phân nói trên x n +1 dx 1 ∫ x dx = ∫ ax + b = a ln ax + b + C . + C, n ≥ 0 và n n +1 lấy ví dụ như 7: 2x 3 x 2 x ln 2x − 1 ⎛ ⎞ 4x 3 − 2x + 1 1 1 ∫ 2x − 1 dx = ∫ ⎜ 2x 2 + x − + dx = + −+ +C. ⎟ 2 2(2x − 1) ⎠ 3 22 4 ⎝3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu mã số bậc nhị P(x) ∫x Xét tích phân: dx . + px + q 2 trong những số đó P(x) là 1 trong những đa thức. Ta màn biểu diễn hàm dưới dấu vết phân ở dạng sau: Mx + N P(x) = Q(x) + 2 . X + px + q x + px + q 2 M Mp Ta viết lại: Mx + N = (2x + p) + N − 2 2 Mx + N M d(x 2 + px + q) ⎛ Mp ⎞ dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ 2 ⎟∫ 2 +⎜N− suy ra: x + px + q 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ ⎛ Mp ⎞ M dx ⎟∫ 2 = ln x 2 + px + q + ⎜ N − . 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ dx Tích phân sót lại ở vế đề nghị J = ∫ được tìm kiếm như sau : x + px + q 2 • trường hợp tam thức x 2 + px + q bao gồm hai nghiệm sáng tỏ x1 ≠ x 2 ; ta có: ⎛1 1⎞ x−x dx 1 1 J=∫ ∫ ⎜ x − x1 − x − x 2 ⎟ dx = x1 − x 2 ln x − x 12 + C . = (x − x1 )(x − x 2 ) x1 − x 2 ⎝ ⎠ • nếu tam thức x 2 + px + q tất cả nghiệm kép α , ta có: dx 1 J=∫ =− +C. (x − α) x −α 2 51 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ • trường hợp tam thức x 2 + px + q vô nghiệm, ta viết lại: 2 p⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ x 2 + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ = X 2 + a 2 , (a 2 > 0) . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2x + phường 1 suy ra: J = arctg +C. A 2a ví dụ 8: 2x 2 − 3x + 2 5 2x + 1 − 1 ⎛ ⎞ 5x ∫ x 2 + x + 1 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 + x + 1 ⎟ dx = 2∫ dx − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx Tính tích phân: ⎝ ⎠ 5 d(x 2 + x + 1) 5 dx ∫ x 2 + x + 1 + 2 ∫ (x + 1/ 2)2 + 3 / 4 = 2x − 2 2x + 1 5 5 = 2x − ln(x 2 + x + 1) + +C arctg 2 3 33.1.3.3. Phương thức hệ số cô động P(x) đưa sử họ muốn so với một phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng (hiệu) Q(x) của các phân thức hữu tỷ thực sự tất cả mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Thứ nhất ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai: Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − α m )a m (x 2 + p1x + q.1 ) b1 ...(x 2 + phường n x + q n ) bn . Trong các số ấy αi , p j , q j là những hằng số, a i , b j là những số nguyên dương, 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ n .

Xem thêm: Top 7 Phần Mềm Zoom Ảnh Không Bị Vỡ Hạt Tốt Nhất Hiện Nay, Phần Mềm Zoom Ảnh Không Vỡ Hạt



Xem thêm: Bài Mẫu Miêu Tả Biểu Đồ Bằng Tiếng Anh, Cách Miêu Tả Biểu Đồ Bằng Tiếng Anh Chuẩn Nhất

• trường hợp trong so với của Q(x) xuất hiện đơn thức (x − α)a , a là số nguyên dương Ai P(x) thì trong đối chiếu của phân thức lộ diện các hạng tử dạng , trong (x − α)i Q(x) đó A i là hằng số với 1 ≤ i ≤ a . • giả dụ trong so với của Q(x) xuất hiện thêm biểu thức (x 2 + px + q) b , b là số nguyên P(x) dương thì trong so với của phân thức xuất hiện các hạng tử dạng Q(x) B jx + C j , trong các số đó B j , C j là các hằng số với 1 ≤ j ≤ b . (x 2 + px + q) j P(x) sau khi viết được đối chiếu của , ta tìm những hằng số A i , B j , C j bằng phương pháp quy Q(x) đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng hóa hệ số của x n , n ∈ ở hai vế. Lấy ví dụ 9: Tính các tích phân bất định x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 a) I1 = ∫ dx . (x 2 + 2)(x − 1)52 bài bác 3: Phép tính tích phân loại tử số mang lại mẫu số ta được nhiều thức x cùng phần dư. Bởi mẫu số của phân thức có những nhân tử là x 2 + 2 cùng x − 1 phải ta viết lại phân thức nghỉ ngơi dạng: x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 Bx + C 1 A =x+ 2 =x+ +2 . (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) x −1 x + 2 2 Quy đồng mẫu mã số ở nhì vế 3 = (A + B)x 2 + (C − B + 2)x − C Đồng nhất hệ số của x 2 , x và thông số tự do, ta được: ⎧A + B = 0 ⎧A = 1 ⎪ ⎪ ⎨C − B + 2 = 0 ⇒ ⎨B = −1 ⎪ −C ⎪C = −1 =1 ⎩ ⎩ x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 3 1 1 2x 1 =x+ − −2 Suy ra: . (x + 2)(x − 1) x −1 2 x + 2 x + 2 2 2 ln(x 2 + 2) 1 x2 x Vậy tích phân bằng: I = + ln x − 1 − − + C. Arctg 2 2 2 2 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 b) I 2 = ∫ dx . (x + 1) 2 (x 2 + 2x + 3) 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 2 1 4 = 2+ − −2 Ta viết: . (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 (x + 1) x + 2x + 3 2 2 2 x +1 1 Suy ra: I = 2x + 2 ln x + 1 + − 2 2 arctg +C. X +1 23.1.4. Tích phân lượng chất giác3.1.4.1. Phương thức chung ∫ R (sin x, cos x)dx , trong các số ấy hàm dưới vết tích phân là hàm số của Xét tích phân x sin x, cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tg , khi đó: 2 1− t2 2t 2t 2dt sin x = ;cos x = ; tg x = ;dx = 1+ t 1+ t 1− t 1+ t2 2 2 2 Tích phân sẽ xét được đem về tích phân của hàm số của vươn lên là t . Lấy ví dụ như 10: sin x − cos x + 2 ∫ 1 + sin x + cos x dx . Tính tích phân: sin x − cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ∫ + 2∫ Ta viết: . 1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 53 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ x Đặt t = tg , suy ra: 2 dx dt ∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 1 + t = ln 1 + t + C . Vậy lại biến chuyển cũ, ta được: sin x − cos x + 2 x ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ln 1 + sin x + cos x + 2 ln 1 + tg 2 + C . ∫ sin m x cos n xdx , trong số đó m, n là những số nguyên3.1.4.2. Tích phân dạng • nếu m là số nguyên dương lẻ, ta để t = cos x . • giả dụ n là số nguyên dương lẻ, ta để t = sin x . • giả dụ m, n là những số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = ;cos 2 x = 2 2 rồi đưa về tích phân dạng ∫ sin k 2x cos e 2xdx. Lấy ví dụ 11: Tính những tích phân bất định a) I1 = ∫ sin 3 x cos 2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ; ta có: t5 t3 cos5 x cos3 x ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − t )t (−dt) = − +C = − +C. 3 2 22 53 5 3 b) I 2 = ∫ sin 4 x cos 2 xdx sử dụng công thức hạ bậc ta có: (1 − cos 2x)2 1 + cos 2x 1 dx = ∫ (1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x ) dx I2 = ∫ 4 2 8 1 + cos 4x 1⎛ ⎞ sin 2x 1 −∫ dx + ∫ (1 − sin 2 2x)d(sin 2x) ⎟ ⇒ I2 = ⎜ x − 8⎝ 2 2 2 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 2x sin 3 2x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + − ⎟+C. 8⎝ 2 2 8 2 6⎠ Đối cùng với tích phân I 2 sau khoản thời gian sử dụng phương pháp hạ bậc lần đầu tiên ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới vết tích phân vì chưng công thức: 3sin x − sin 3x 3cos x + cos 3x sin 3 x = ;cos3 x = . 4 454 bài 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1 + cos 4x 3cos 2x + cos 6x ⎞ 1⎛ ∫ ⎜1 − cos2x − 2 + I2 = ⎟ dx 8⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 6x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + ⎟+C. 8⎝ 2 8 8 24 ⎠ trong trường vừa lòng tổng quát sau thời điểm sử dụng cách làm hạ bậc, có thể xuất hiện những tích phân dạng: ∫ sin ax cos bxdx; ∫ cos ax cos bxdx; ∫ sin ax sin bxdx cùng với a ≠ b . Những tích phân dạng này hoàn toàn có thể tính dễ dàng bằng cách biến đổi tổng như sau: 1 ∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ cos(a + b)x cos(a − b)x ⎤ =− ⎢ + +C. A−b ⎥ 2⎣ a+b ⎦ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a + b)x sin(a − b)x ⎤ = + +C. 2⎢ a+b a−b ⎥ ⎣ ⎦ 1 ∫ sin ax sin bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a − b)x sin(a + b)x ⎤ = − + C. 2⎢ a−b a+b ⎥ ⎣ ⎦ ∫ R(sin x, cos x)dx lúc tích phân bao gồm thêm những đặc điểm đặc biệt, ta hoàn toàn có thể sử dụng những phép đổi biến đổi như sau: Đặt t = cosx trường hợp R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). . Đặt t = sinx ví như R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx). Đặt t = tgx ví như R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) .Ví dụ 12: dx ∫ sin x cosTính tích phân: 4 xĐặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , ta có: ⎡1 1 1⎤ −dt 1 1 1 t +1 dx 1∫ sin x cos =∫ = ∫⎢ 4 − 2 − + ⎥ dt = − 3t 3 − t + 2 ln t − 1 + C (1 − t )t 2(t − 1) 2(t + 1) ⎦ 4 24 x ⎣t t 1 1 + cos x dx 1 1⇒∫ =− − + ln +C 3cos x cos x 2 1 − cos x 4 3 sin x cos x 55 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.5. Tích phân hàm đựng căn thức ∫ R(x, ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , x 2 − α 2 )dx , trong số đó R(u, v) là Xét tích phân tất cả dạng các hàm số hữu tỷ. • Đặt x = α tg t so với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx . • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t so với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx . α α đối với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx . • Đặt x = hoặc x = cos t sin t ví dụ 13: Tính các tích phân sau: 3 − ∫ (1 − x 2 a) ) dx . 2 ⎛ π π⎞ Đặt x = sin t, t ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ dx = cos tdt, 1 − x 2 = cos t , với ⎝ 2 2⎠ 3 dt − ∫ (1 − x ) dx = ∫ = tg t + C = tg(arcsin x) + C . 2 2 cos 2 t dx ∫x b) . 1+ x2 2 ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ dt Đặt x = tg t ⎜ t ∈ ⎜ − , ⎟ ⎟ ⇒ dx = , ta có: cos 2 t ⎝ ⎝ 2 2 ⎠⎠ dx cos tdt 1 1 ∫x =∫ =− +C = − +C. 2 sin t sin t sin(arctg x) 1+ x2 23.2. Tích phân xác định3.2.1. Quan niệm tích phân xác định. Điều khiếu nại khả tích3.2.1.1. Bài bác toán diện tích hình thang cong cho hàm số y = f (x) xác định và liên tiếp trên đoạn < a, b > cùng giả sử f (x) không âm bên trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ gia dụng thị của hàm số y = f (x) ( x ∈ < a, b > ); các đường thẳng x = a, x = b với trục Ox. Tính diện tích S của hình thang cong AabB. Ta phân chia đoạn < a, b > thành n đoạn nhỏ dại bởi những điểm chia: x 0 ≡ a bài 3: Phép tính tích phân loại hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ dại A i x i x i +1A i +1 . Ta rất có thể xấp xỉ diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ dại đó bởi diện tích s của hình chữ nhật gồm cùng lòng dưới và độ cao f (ξi ) , trong đó ξi là một trong điểm bất kỳ nằm thân x i cùng x i +1 . Gọi Si là diện tích của hình thang cong bé dại thứ i, ta có: si mê ≈ f (ξi )(x i +1 − x i ) = f (ξi )Δx i . Vậy diện tích S của hình thang cong AabB rất có thể xấp xỉ vày công thức: n −1 S ≈ ∑ f (ξi )Δx i . I=0 Tổng ngơi nghỉ vế buộc phải được call là tổng tích phân ứng cùng với phân hoạch π và phương pháp chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > . Khi số điểm phân chia n phệ lên vô hạn và độ dài những đoạn phân chia Δx i bé dại dần thì cạnh trên của hình chữ nhật sản phẩm i càng giáp với dáng vẻ của trang bị thị của f (x) bên trên đoạn < x i , x i+1 > , phép xấp xỉ diện tích s S bởi tổng diện tích những hình chữ nhật nói trên càng thiết yếu xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng ngơi nghỉ vế phải chính là diện tích S của hình thang cong AabB: S = lim σ (3.1) n →∞ vào toán học, số lượng giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất định được gọi là tích phân xác minh của hàm số f (x) bên trên đoạn < a, b >3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa: mang lại hàm số f (x) xác minh trên đoạn < a, b > . Phân hoạch đoạn < a, b > bởi những điểm phân chia x 0 ≡ a bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ với một phân hoạch π ngẫu nhiên của đoạn < 0,1> và phương pháp chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ = ∑ f (ξi )Δx i = C∑ Δx i = C . I=0 i=0 Theo khái niệm tích phân xác định, ta có 1 ∫ Cdx = lim σ = C . Max Δx i → 0 0 CHÚ Ý : Tích phân khẳng định của một hàm số khả tích f (x) bên trên đoạn < a, b > là một trong những xác định, cho nên vì vậy tích phân không nhờ vào vào ký hiệu của biến đổi số dưới dấu tích phân b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = ... A a a3.2.1.3. Điều kiện khả tích Ta quá nhận những định lý sau về tính chất khả tích của những hàm số. Định lý 1: Điều kiện nên để một hàm số f (x) khả tích trên đoạn < a, b > là nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2: Một hàm số f (x) xác minh trên đoạn < a, b > khả tích bên trên đoạn đó nếu nó chấp thuận một trong số điều khiếu nại sau đây: f (x) thường xuyên trên đoạn < a, b > . • f (x) đối kháng điệu và bị chặn trên < a, b > . • f (x) bị ngăn và chỉ tất cả hữu hạn điểm cách trở trên < a, b > . • CHÚ Ý : tự định lý 2 khi sẽ biết hàm số f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > thì số lượng giới hạn của tổng tích phân không nhờ vào vào giải pháp phân hoạch đoạn < a, b > và biện pháp chọn điểm ξi . Vì vậy khi tính tích phân khẳng định của một hàm khả tích bởi định nghĩa, ta thực hiện việc chia gần như đoạn < a, b > , và chọn điểm ξi trùng với 1 trong hai đầu mút của đoạn < x i , x i +1 > , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ). Khi đó ta tất cả i(b − a) b−a xi = a + ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n58 bài 3: Phép tính tích phân ví dụ 15: 1 Tính tích phân ∫ x 2 dx . 0 dễ thấy hàm số f (x) = x 2 thường xuyên và cho nên khả tích trên đoạn < 0,1> . Phân hoạch đoạn <0,1> bởi những điểm chia i 0 ≡ x 0 bài xích 3: Phép tính tích phân{{Ơ b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . A a c • tính chất tuyến tính của tích phân khẳng định b b b ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx a a a trong đó α, β là những hằng số cùng f (x);g(x) là những hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > . • trả sử f (x), g(x) là nhị hàm số khả tích bên trên đoạn < a, b > và f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ < a, b > , ta bao gồm : b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . A a vết “=” xảy ra khi và chỉ khi f (x) = g(x) với mọi x ∈ < a, b > • nếu f (x) khả tích bên trên đoạn < a, b > thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó và b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . A a • trả sử hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn < a, b > thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ < a, b > làm sao để cho : b ∫ f (x)dx = f (c)(b − a) . A3.2.2. Bí quyết đạo hàm theo cận trên giả sử f (x) là một trong hàm số tiếp tục trên đoạn < a, b > . Lúc ấy f (x) cũng khả tích bên trên đoạn < a, x > cùng với x là một trong điểm bất kỳ thuộc đoạn < a, b > . X Xét hàm số: Φ (x) = ∫ f (t)dt, x ∈ < a, b > . A Hàm số Φ ( x) được call là hàm cận trên. Định lý: trường hợp f (x) là hàm số thường xuyên trên đoạn < a, b > thì hàm cận bên trên Φ ( x) là hàm khả vi liên tiếp trên đoạn đó, và với mọi điểm x ∈ < a, b > ta có: ⎛x ⎞ Φ "(x) = ⎜ ∫ f (t)dt ⎟ " = f (x) . ⎝a ⎠ nhận xét: bí quyết nói trên đến ta thấy hàm cận bên trên Φ ( x) là một trong những nguyên hàm của hàm số dưới vết tích phân f (x) bên trên đoạn < a, b > . Và vậy nên mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm.60 bài 3: Phép tính tích phân3.2.3. Phương pháp Newton – Leibnitz b ∫ f (x)dx = F(x) b = F(b) − F(a) a a trong những số đó F(x) là 1 nguyên hàm ngẫu nhiên của hàm số liên tiếp f (x) . Phương pháp Newton – Leibnitz được cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. Bệnh minh: bởi vì hàm cận trên Φ ( x) là một trong những nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn < a, b > cần ta bao gồm F(x) = Φ (x) + C . Nỗ lực x = a ta có: F(a) = Φ (a) + C = C . X Suy ra: ∫ f (t)dt = Φ (x) = F(x) − C = F(x) − F(a) . A b vắt x = b ta được: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a) . A lấy ví dụ như 16: Tính những tích phân xác định: 2 a) I1 = ∫ x − 1 dx . 0 Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) = x − 1 không suy ra thẳng được từ bảng những tích phân cơ bản, cho nên vì vậy ta nên khử được dấu giá trị tuyệt vời nhất của hàm dưới dấu vết phân. Vì vậy ta chia đoạn rước tích tạo thành hai đoạn: bên trên đoạn <0,1> hàm số f (x) = 1 − x , bên trên đoạn <1, 2> hàm số f (x) = x − 1 . Tiếp nối dùng phương pháp Newton – Leibnitz ta tính được tích phân: 1 2 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1 2 I1 = ∫ (1 − x)dx + ∫ (x − 1)dx = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − x ⎟ = 1 . 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎝ ⎠1 0 1 0 b) I 2 = ∫ x arctg(x + 1)dx . −1 Ta tìm kiếm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân ⎛ x2 ⎞ x2 1 x 2 dx F(x) = ∫ x arctg xdx = ∫ arctg xd ⎜ ⎟ = arctg x − ∫ . 2 1+ x2 ⎝2⎠ 2 x2 1 Suy ra F(x) = arctg x − (x − arctgx) và theo bí quyết Newton – Leibnitz: 2 2 0 π−2 ∫ x arctg(x + 1)dx = F(0) − F(−1) = . 4 −1 61 bài bác 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.2.4. Các phương thức tính tích phân xác định Ta sẽ biết công thức Newton – Leibnitz chất nhận được tính tích phân khẳng định khi vẫn biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu vết phân, vì thế các phương pháp tính tích phân biến động đều được áp dụng để tính tích phân xác định như là: phương thức khai triển, biến đổi vi phân, đổi đổi thay và tích phân từng phần. Mặc dù khi dùng phương thức đổi biến, ta không nhất thiết phải đổi lại biến lúc đầu mà chỉ việc tính lại cận tích phân tương ứng. Sau đây trình bày lại hai bí quyết đổi biến so với tích phân xác định, và bí quyết tích phân từng phần.3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a trong đó u (x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục. Phương pháp này được áp dụng trong trường phù hợp hàm dưới dấu tích phân bao gồm chứa các hàm số a x , e x , ln x , các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược. Lấy ví dụ 17: 1 Tính tích phân: I = ∫ xe3x dx . 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ ⇒⎨ Đặt: ⎨ e3 x dv = e3x dx ⎪ v = ⎩ ⎩ 3 1 1 2e3 + 1 xe3x e3 1 1 1 − ∫ e3x dx = − e3x = suy ra: I = . 3 0 30 39 9 03.2.4.2. Phương pháp đổi biến hóa b trả sử ta bắt buộc tính tích phân ∫ f (x)dx , trong các số đó f (x) là hàm số liên tiếp trên đoạn < a, b > . A • Phép đổi biến hóa thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) , trong đó: Hàm số ϕ( t) xác định, thường xuyên và gồm đạo hàm tiếp tục trên đoạn < α, β> ϕ(α) = a, ϕ(β) = b . Khi t biến thiên trong khúc < α, β> hàm số x = ϕ(t) nhấn giá trị khớp ứng trong đoạn < a, b > . β β b ∫ f (x)dx = ∫ f <ϕ(t)> ϕ "(t)dt = ∫ g(t)dt . Lúc đó: α α a • Phép đổi thay đổi thứ hai: Đặt t = ϕ(x) , vào đó:62