PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

     
1. Tản mạn 2. Dạng phương trình vi phân toàn phần 3. Giải pháp giải 4. Ví dụ áp dụng 5. Một số trong những bài tập có lời giải

1. Tản mạn

Trời thì vẫn mưa cực kì to, sáng sủa ngủ dậy có tác dụng được gói mỳ tôm, nhai thêm hai chiếc bánh chocolate và làm cho thêm cốc nước nữa kakaka... đủ năng lượng cho 1 trong các buổi sáng. Giờ đồng hồ mưa vẫn rơi rinh rích trên mái nhà, ngay bây giờ đây, được ngồi một mình ngâm cứu giúp một thứ gì đó thì quả thật không liệu có còn gì khác bằng. Có tác dụng thêm một ngụm nước, kê bàn và lật sách phương trình vi phân ra đọc. Chà ngay lúc này, cũng đều có một cảm nhận gì đấy tí tẹo về phương trình vi phân toàn phần, trong thời điểm tạm thời viết một bài nhỏ ở đây, gồm khi giờ ghi nhớ đấy, tuy nhiên vài hôm nữa lại quên ngay...

Bạn đang xem: Phương trình vi phân toàn phần

Đầu tiên bossvietnam.vn sẽ trình diễn tóm gọn tuyệt nhất về dạng và giải pháp giải và sau đó là chỉ dẫn ví dụ, để khi đề xuất thì chỉ cần mở ra nhớ với làm, mẫu này hệt như là delta của phương trình bậc hai, lưu giữ và làm thôi, còn vấn đề ngâm cứu siêng sâu như thế nào đó là nhu cầu của từng người. OK! Let"s Go!


Phương trình vi phân dạng

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0quad (1)$$

được điện thoại tư vấn là phương trình vi phần toàn phần lúc nó vừa lòng điều kiện: vế trái của phương trình $(1)$ đề nghị là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Có nghĩa là tồn tại một hàm $U(x,y)$ khả vi nào kia sao cho

$$dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$$

Điều kiện nhằm một phương trình vi phân dạng $(1)$ biến đổi phương trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết phương trình vi phân toàn phần) là:

$$displaystyle fracpartial Mpartial y=fracpartial Npartial x$$


Ví dụ: Phương trình vi phân $(3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy$ là phương trình vi phân toàn phần vì

$M(x,y)=(3x^2+6xy^2), N(x,y)=(6x^2y+4y^3)$

$displaystyle fracpartial Mpartial y=fracpartial Npartial x=12xy$


3. Biện pháp giải

Ở đây ta chỉ nêu giải pháp giải với áp dụng, đề xuất mới nói là nó cũng như công thức delta cơ mà thôi. Việc bài viết liên quan là yêu cầu của mỗi người.


Nếu phương trình $(1)$ là phương trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng thể của phương trình $(1)$ là:

$$displaystyle U(x,y)=int_x_0^xM(x,y_0)dx+int_y_0^yN(x,y)dy=Cquad (2.1)$$

hoặc

$$displaystyle U(x,y)=int_x_0^xM(x,y)dx+int_y_0^yN(x_0,y)dy=C quad (2.2)$$

với $(x_0,y_0)$ là 1 trong điểm điểm ngẫu nhiên mà khi cố gắng vào các hàm $M(x,y_0), N(x_0,y)$ xác định. Hay thì ta sẽ lựa chọn sao cho dễ dãi trong việc tính tích phân nhất.


Cách lưu giữ của bossvietnam.vn: cách làm này rất là dễ nhớ giả dụ ta để ý một chút. Trước hết một cách hiệ tượng ta mang tích phân hai vế của của phương trình $(1)$, xem xét chỗ bao gồm đuôi vi phân là $dx$ thì cận chạy tự $x_0$ mang đến $x$, chỗ tất cả phần đuôi là $dy$ thì cận chạy tự $y_0$ cho $y$.

Xem thêm: Độ Sâu Của Âm Vật - Kích Thước Âm Đạo Của Phụ Nữ Việt Là Bao Nhiêu

Điều đặc biệt nhất là hãy nhớ chỉ được chũm $x_0$ hoặc $y_0$ vào một trong nhị vị trí: phần tất cả đuôi $dx$ thì chỉ được cầm cố $y_0$. Phần tất cả đuôi $dy$ thì chỉ được vậy $x_0$.


4. Lấy ví dụ như áp dụng

Ví dụ luôn luôn là thứ câu trả lời mọi vướng mắc mà phần triết lý nếu đọc ta vẫn chưa ráng vững.

Xem thêm: Unit 14 Lớp 10 Language Focus Unit 14 : The World Cup, Language Focus Unit 14 : The World Cup


Trước tiên ta bắt buộc kiểm tra đk để phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần xuất xắc không. Nếu tất cả thì ta mới vận dụng được công thức của nội dung bài viết này, nếu như không thì bài viết này coi như vứt, chẳng mang lại lợi ích được gì. (Mách nhỏ tuổi là làm việc trên, thời điểm nãy ngoài ra kiểm tra là phương trình vi phân toàn phần rồi tốt sao đó)

$M(x,y)=(3x^2+6xy^2), N(x,y)=(6x^2y+4y^3)$

$displaystyle fracpartial Mpartial y=fracpartial Npartial x=12xy$

Vậy $(3.1)$ là phương trình vi phân toàn phần. Ta chọn $(x_0;y_0)=(0,0)$. Lúc ấy theo phương pháp $(2.2)$ ta được

$displaystyle int_0^x(3x^2+6xy^2)dx+int_0^y4y^3dy=C$

Hay tích phân tổng quát của $(3.1)$ là

$x^3+3x^2y^2+y^4=C$


$M(x;y)=y-x$

$N(x;y)=y^3+x$

$fracpartial Mdy=fracpartial Ndx=1$ (thỏa mãn điều kiện của phương trình vi phân toàn phần)

Chọn $(x_0;y_0)=(0;0)$. Tích phân tổng quát

$$int_0^x (0-x)dx+int_0^y (y^3+x)dy=C$$

$$Rightarrow int_0^x(-x)dx+int_0^y (y^3+x)dy=C$$

$$Rightarrow -fracx^22+fracy^44+xy=C$$


Bài tập 2. Giải phương trình $$left< left( 1+x+y ight)e^x+e^y ight>dx+left( e^x+xe^y ight)dy=0$$


Giải

$displaystyle M(x;y)=(1+x+y)e^x+e^y$

$displaystyle N(x;y)=e^x+xe^y$

$displaystyle fracpartial Mdy=fracpartial Ndx=e^x$

Chọn $(x_0;y_0)=(0;0)$

Suy ra tích phân tổng quát

$displaystyle intlimits_0^xleft< (1+x+0)e^x+e^0 ight>dx+intlimits_0^yleft( e^x+xe^y ight)dy=C$

$displaystyle Leftrightarrow intlimits_0^xleft< (1+x)e^x+1 ight>dx+intlimits_0^yleft( e^x+xe^y ight)dy=C$

$displaystyle Leftrightarrow left< (1+x)e^x-e^x+x ight>left| _0^x ight.+left( ye^x+xe^y ight)left| _0^y ight.=C$