Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

     

Hướng dẫn, giải pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài xích tập mà những em áp dụng một giỏi nhiều cách thức để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.




Bạn đang xem: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I. Cách thức 1 : sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tra cứu x, y nguyên tố thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng mà x yếu tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta tất cả x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: Data Modeling Là Gì? Cách Áp Dụng Mô Hình Hóa Dữ Liệu Tổng Quan Về Mô Hình Hóa Dữ Liệu


Xem thêm: Phim Hạnh Phúc Nhỏ Của Anh Thuyết Minh, Hạnh Phúc Nhỏ Của Anh


Phương pháp 2 : phương thức phân tích

Thực hóa học là chuyển đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Cách thức 3 : cách thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số việc vai trò của các ẩn đồng đẳng như nhau:

Ví dụ 4: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình gồm nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta bao gồm phương trình bậc 2 ẩn x. đưa sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 mà lại 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : cần sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: tra cứu nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

phía dẫn:

Ta gồm x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0