ĐỀ THI OLYMPIC 30

     

Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có những đỉnh là phần lớn điểm có tọa độ nguyên. Minh chứng rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có tối thiểu một điểm có tọa độ nguyên.

 




Bạn đang xem: đề thi olympic 30

*
11 trang
*
trường đạt
*
1899
*
1Download


Xem thêm: Quáng Gà Là Gì? Bệnh Quáng Gà Có Chữa Được Không ? Quáng Gà: Nguyên Nhân, Triệu Chứng Và Điều Trị

Bạn sẽ xem tư liệu "Đề thi môn Toán lớp 10 kỳ thi olympic truyền thống 30/4 lần thứ XIII tại thành phố Huế", để cài đặt tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD ngơi nghỉ trên


Xem thêm: Đề Cương Ôn Tập Toán 9 - Đề Cương Ôn Tập Học Kì 1 Môn Toán Lớp 9 Năm 2020

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phútChú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng rẽ biệtCâu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình:Câu 2 (4 điểm). Cho những số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức .Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác ABC có những góc A, B thỏa điều kiện: .Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.Câu 4 (4 điểm). đến tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho:; ;; .Tìm địa chỉ của điểm M sao để cho PA = QB = RC = SD.Câu 5 (4 điểm). Trong khía cạnh phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là các điểm tất cả tọa độ nguyên. Minh chứng rằng phía bên trong hoặc bên trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm bao gồm tọa độ nguyên.-------------------HẾT---------------------Ghi chú: Cán bộ coi thi không phân tích và lý giải gì thêmĐáp án Toán 10 NỘI DUNGĐIỂMCâu 1:Giải hệ phương trình:* Điều kiện: x + y > 00,5* (1) Û (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)Û <(x + y)2 – 2xy > (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0Û (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0Û (x + y)<(x + y)2 – 16> – 2xy(x + y – 4) = 0Û (x + y – 4)<(x + y)(x + y + 4) – 2xy> = 01 Û 0,5Từ (3) Þ x + y = 4, núm vào (2) ta được:x2 + x – 4 = 2 Û x2 + x – 6 = 0 Û .1(4) vô nghiệm do x2 + y2 ≥ 0 với x + y > 0.0,5Vậy hệ có hai nghiệm là (–3; 7); (2; 2)0,5Đáp án Toán 10 NỘI DUNGĐIỂMCâu 2:Cho những số thực , , , thỏa mãn nhu cầu điều kiện . Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức .Viết lại .0,5Đặt , , . Ta tất cả . Mà đề nghị . Đẳng thức xẩy ra khi là hình chiếu của trên . 1,5Suy ra .1Vậy đạt được ví dụ điển hình khi .1Đáp án Toán 10 NỘI DUNGĐIỂMCâu 3:Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa đk : sin + sin = 2cos.Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.Ta có: sin( ) + sin() = 2 sin() cos() . 1 sin() > 0; cos() > 0 0 0Suy ra : 2sin()cos() >0 tuyệt cos()>0. 1Kết hợp với sin()1, ta gồm sin()cos()cos() do đó: 2 sin()cos() 2cos() 2cos()1Vì vậy nếu sin( ) + sin() = 2cos() thì buộc phải có: A = B = . Vậy tam giác ABC là tam giác đều.1Đáp án Toán 10 NỘI DUNGĐIỂMCâu 4:Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. điện thoại tư vấn P, Q, R, S là những điểm sao cho; ; Tìm địa chỉ của điểm M sao để cho PA = QB = RC = SD.Giả sử có điểm M thỏa bài xích toán. Hotline G là điểm sao cho.0,5Từ , ta bao gồm .Tương trường đoản cú , , .1Do đó PA = QB = RC = SD GA = GB = GC = GD.1Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp được trong con đường tròn trọng tâm O thì G trùng O và M là vấn đề duy nhất xác định bới . Soát sổ lại thấy thỏa page authority = QB = RC = SD.1Nếu ABCD chưa phải là tứ giác nội tiếp được trong mặt đường tròn thì ko tồn trên điểm M.0,5Đáp án Toán 10 NỘI DUNGĐIỂMCâu 5:Trong mặt phẳng tọa độ cho 1 ngũ giác lồi có những đỉnh là số đông điểm bao gồm tọa độ nguyên. Minh chứng rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có tối thiểu một điểm bao gồm tọa độ nguyên. Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5.(xi; yi) rất có thể rơi vào mọi trường hợp sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) cùng với k, k’ Î Z 1,5Do nhiều giác gồm 5 đỉnh cần theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn thứ hạng trên.1,5Khi kia trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ sở hữu tọa độ nguyên.Do ngũ giác là lồi nên điểm đó ở miền trong hoặc trên cạnh của ngũ giác đó. 1Câu I (7 điểm).Cho hàm số (1)1) phụ thuộc vào giá trị của a, hãy lập bảng đổi thay thiên của hàm số (1).2) tìm kiếm a thế nào cho phương trình: gồm nghiệm duy nhất.Câu II (4 điểm)Cho hệ phương trình:1) Giải hệ phương trình với m = -1.2) search m nhằm hệ bao gồm đúng 2 nghiệm phân biệt.Câu III (5 điểm)Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lắp thêm tự là độ dài những cạnh BC, CA, AB và A, B, C là độ lớn các góc: và hội chứng minh:Câu IV (4 điểm).Chứng minh bất đẳng thức:--------------------------------------------------------HẾT-------------------------------Câu I (4 điểm).1) chứng minh với hồ hết số thực dương a, ta luôn luôn có:2) Giải phương trình:Câu II (6 điểm)Tìm cực hiếm của m nhằm bất phương trình:có ít nhất một nghiệm ko âm.Câu III (4 điểm)Gọi S là tập hợp những điểm trong phương diện phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình:Tìm các điểm của tập vừa lòng S khiến cho biểu thức F = y - x đạt giá chỉ trị béo nhất.Câu IV (6 điểm).Cho tam giác ABC gồm H là trực tâm, biết AB = c, AC = b cùng BC = a. Gọi lần lượt là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp các tam giác HAB, HAC, HBC.Tính theo a, b, c nửa đường kính đường tròn đi qua 3 điểm .--------------------------------------------------------HẾT-------------------------------Câu I (3 điểm).Giải phương trình sau: Câu II (6 điểm)1) đến a, b là 2 số ko âm. Hội chứng minh:2) Tìm giá bán trị lớn số 1 của hàm số:.Câu III (8 điểm)Cho tam giác ABC là tam giác đều phải có các cạnh bởi 1. Một mặt đường thẳng chuyển đổi cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại M với N làm sao để cho chu vi của tam giác AMN bằng chu vi của tứ giác BCNM. điện thoại tư vấn S1, S2 lần lượt là diện tích s của tam giác AMN và tứ giác BCNM.1) chứng tỏ tỏ rằng AM + AN ko đổi.2) chứng tỏ rằng: .3) chứng minh rằng: Câu IV (3 điểm).Cho a, b với c là 3 số dương. Chứng tỏ bất đẳng thức:--------------------------------------------------------HẾT---------------------------------Câu I (7 điểm).Cho hệ phương trình sau: (với m là tham số).1) Giải hệ khi 2) Hỏi hoàn toàn có thể tồn tại m nhằm hệ có tương đối nhiều hơn một nghiệm (x;y) xuất xắc không?Câu II (6 điểm)Cho tam giác ABC bao gồm 3 góc nhọn, bao gồm H là trực tâm, call R là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp.1) chứng tỏ rằng: AH = 2R.cosA.2) chứng tỏ rằng: Câu III (4 điểm)Cho hàm số với Kí hiệu là giá bán trị lớn nhất của khi 1) chứng minh rằng: 2) xác định a để đạt giá chỉ trị to nhất.Câu IV (3 điểm).Cho a, b và c là các số dương. Chứng tỏ rằng:--------------------------------------------------------HẾT--------------------------------Câu I (6 điểm).Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: Câu II (3 điểm)Giải phương trình: Câu III (5 điểm)Chứng minh rằng với đa số tam giác ABC, ta luôn luôn có hệ thức:Câu IV (3 điểm).Cho hệ phương trình:Với ẩn (x;y;z) và những hệ số thực a, b, c trong đó minh chứng rằng: ví như thì hệ đã mang lại vô nghiệm.Câu V (3 điểm).Cho tam giác ABC là một trong tam giác rất nhiều và điểm M chuyển đổi thuộc miền trong của tam giác đó. Call A1, B1, C1 đồ vật tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng: --------------------------------------------------------HẾT----