Giải phương trình lượng giác: cosx + cos3x + 2cos5x = 0

     
thắc mắc trong đề: Trắc nghiệm Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)
*
Giải vì Vietjack


I. Phương trình số 1 đối với 1 hàm con số giác

1. Định nghĩa.

Bạn đang xem: Giải phương trình lượng giác: cosx + cos3x + 2cos5x = 0

Phương trình hàng đầu đối với cùng một hàm con số giác là phương trình bao gồm dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là những hằng số (a ≠ 0) và t là 1 trong những hàm số lượng giác.

- lấy ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình số 1 đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình hàng đầu đối cùng với cotx.

2. Biện pháp giải

Chuyển vế rồi phân chia hai vế của phương trình (1) mang đến a, ta gửi phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- lấy ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) 2sinx – 4 = 0;

b) 3tanx− 3 =0.

Lời giải:

a) từ 2sinx – 4 = 0, gửi vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 buộc phải phương trình đã mang đến vô nghiệm.

b) từ bỏ 3tanx− 3 =0, gửi vế ta có: 3tanx= 3 (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) mang đến 3 ta được: tanx= 33.

⇔tanx= tan π6  ⇔x = π6 +​ kπ;  k∈ℤ

3. Phương trình đem về phương trình số 1 đối với cùng một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức đổi khác lượng giác đã có học để lấy về phương trình số 1 đối với hàm con số giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

- lấy ví dụ như 3. Giải những phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

⇔2sinx. Cosx – cosx = 0

⇔cosx. (2sinx – 1) = 0

⇔cosx  = 02sinx−1=0

+ với cosx = 0 thìx  =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

+ với 2sinx – 1 = 0

⇔2sinx=1⇔sin x= 12⇔x =  π6  +​  k2πx = π− π6  +​  k2π =  5π6  +​  k2π ;  k ∈ℤ

Vậy phương trình đã đến có những nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2π và x  =  5π6  +  k2π;  k∈ℤ.

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

⇔– 2sin2x. Cos2x = 1 (vì sin2x = 2sinx. Cosx)

⇔– sin4x = 1 sin 4x = – 1

⇔4x = − π2  + k2π⇔x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ

Vậy nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ.

II. Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình bao gồm dạng:

at^2 + bt + c = 0

Trong kia a; b; c là những hằng số (a ≠ 0) cùng t là 1 trong trong các hàm số lượng giác.

- ví dụ 4.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai so với tanx.

2. Phương pháp giải.

Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ và đặt đk cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối thuộc ta đem về việc giải những phương trình lượng giác cơ bản.

- lấy một ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Xem thêm: Phép Nhân Hóa Là Gì? Tác Dụng Của Nhân Hóa Câu Hỏi 322465 Nhân Hóa Là Gì

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc nhị ẩn t là: 2t^2 – 4t = 0.⇔t=0t  =2 .

Trong nhị nghiệm này chỉ bao gồm nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

Vậy phương trình đã cho tất cả nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

3. Phương trình đem về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác.

- Phương pháp:

Sử dụng những công thức lượng giác sẽ học để thay đổi đưa về dạng phương trình bậc hai so với một hàm con số giác.

- lấy ví dụ như 6. Giải phương trình 3sin^2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x cần phương trình đã mang đến tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

⇔– 3cos2 x – 6cosx = 0 (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0 ⇔t=0t= −2.

Trong nhị nghiệm này, chỉ tất cả nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 ⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

Vậy phương trình vẫn cho tất cả nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

- ví dụ 7. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. Cosx + 2cos2x = 0 (1).

Lời giải:

+ nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 đề xuất phương trình (1) tất cả :

VT(1) = 1 với VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không vừa lòng phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ do cosx ≠ 0 đề nghị chia hai vế của phương trình (1) mang đến cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0 (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 = 0

⇔t  =1t =2

Với t = 1 thì tanx = 1 ⇔x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤ.

Với t = 2 thì tanx = 2 ⇔x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ℤ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤvà x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ ℤ.

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

1. Công thức chuyển đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức thay đổi sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2. sin (x+​α) (1)

Trong đó; cosα  =   aa2+ b2;  sin α=  ba2+ b2.

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ∈R; a, b ko đồng thời bởi 0.

- nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) rất có thể đưa tức thì về phương trình lượng giác cơ bản.

- giả dụ a ≠ 0; b ≠ 0, ta vận dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3sinx−  cosx =  2.

Xem thêm: Cách Tính Tổng Của 100 Số Lẻ Đầu Tiên, Tính Tổng Của 100 Số Lẻ Đầu Tiên

Lời giải:

Theo bí quyết (1) ta có:

3sinx−  cosx =  (3)2+​ 1. sin(x−  α)  =2sin(x−α)

Trong đó; cosα  =   32;  sin α  =  12. Ta lấy α =  π6thì ta có:

3sinx−  cosx =  2sin x−  π6

Khi đó;3sinx−  cosx =  2

⇔  2sin x−  π6= 2⇔  sin x−  π6= 1⇔x−  π6  =  π2 +  k2π  ⇔x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ

Vậy phương trình gồm nghiệm là x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ.