CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

     

Hướng dẫn học sinh cách viết phương trình mặt phẳng, một dạng toán cơ bản trong chương trình Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Chuyên đề phương trình mặt phẳng trong không gian

A. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ

Trong không gian Oxyz, mang lại mặt phẳng (P) đi qua điểm M(α;β;γ) và có vecto pháp tuyến n(a;b;c). Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình tổng quát mắng là: a(x-α)+b(y-β)+c(z-γ)=0.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) nhận véc tơ n(4;2;5) là véc tơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x-1)+2(y-2)+5(z-3)=0

⇔4x+2y+5z-23=0.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Phương pháp:Giả sử (P) là mặt phẳng trung trực của đoanh AB. Ta xác định yếu tố điểm nhưng mà (P) đi qua đó là trung điểm AB. Còn vecto pháp tuyến chính là vecto AB.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, mang đến điểm $A(2;1;3)$ và điểm $B(4;-2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Điểm $Ileft(2 ;-dfrac12 ; 3 ight)$ là trung điểm của đoạn $A B$ và $I in(P)$. $overrightarrowA B=(2 ;-3 ; 0)$ là một véc tơ pháp tuyến của $(P)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$2(x-2)-3left(y+dfrac12 ight)+0(z-3)=0$

$Leftrightarrow 2 x-3 y-dfrac112=0$

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm mang lại trước

Phương pháp:Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm ko thẳng mặt hàng A, B, C. Để tìm yếu tố véc tơ pháp tuyến họ lấy tích tất cả hướng của véc tơ AB cùng véc tơ AC.

Ví dụ 2: Trong không khí Oxyz, mang lại điểm A(2;-2;3), điểm B(0;-2;4) và điểm C(4;1;3). Viết PT mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $overrightarrowA B=(-2 ; 0 ; 1), overrightarrowA C=(2 ; 3 ; 0)$.

Xem thêm: Một Số Chức Năng Của Hệ Điều Hành Là : A, Lý Thuyết: Khái Niệm Về Hệ Điều Hành

Vậy $vecn=overrightarrowA B wedge overrightarrowA C=(-3 ; 2 ;-6)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$.

Do đó phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$-3(x-2)+2(y+2)-6(z-3)=0$

$Leftrightarrow-3 x+2 y-6 z+28=0$

*Lưu ý về phương pháp viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Trong không gian $O x y z$, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a b c eq 0$ là:

$dfracxa+dfracyb+dfraczc=1$

3. Viết phương trình mặt phẳng đi sang một điểm vuông góc với 2 mặt phẳng cho trước

Phương pháp: Giả sử ta cần viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với (P), (Q). Yếu tố điểm đã tất cả là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến đó là tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến của (P) cùng (Q).

*

Ví dụ 3: Trong không khí Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và các mặt phẳng (P):x+y+z-3=0, (Q): 2x-y+3z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A vuông góc với mặt phẳng (P) với (Q).

Lời giải:

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $overrightarrown_p=(1 ; 1 ; 1)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $overrightarrown_Q=(2 ;-1 ; 3)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $overrightarrown_R=overrightarrown_p wedge overrightarrown_Q=(4 ;-1 ;-3)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ là

$4(x-1)-(y-2)-3(z-3)=0 Leftrightarrow 4 x-y-3 z+7=0$

4. Viết phương trình mặt phẳng đi sang 1 điểm vuông góc với đường thẳng mang đến trước

Phương pháp:Giả sử ta cần viết phương trình mp(P) đi qua điểm A với vuông góc với đường thẳng d. Yếu tố điểm đã bao gồm là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đó là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.

Ví dụ 4: Trong không gian $O x y z$, mang lại điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ cùng đường thẳng $Delta: dfracx2=dfracy-13=dfracz+2-1$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ cùng vuông góc với đường thẳng $Delta$.

Lời giải:

Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ là $vecu=(2 ; 3 ;-1)$. Đây cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Xem thêm: Xem Phim Mũi Tên Xanh Phần 2 ), Review Phim: Mũi Tên Xanh (Phần 2)

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2 x+3 y-z+6=0$.