CHO TAM GIÁC ABC NHỌN NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

     
Câu hỏi: mang lại tam giác ABC có tía góc nhọn nội tiếp con đường tròn tâm O nửa đường kính R với AH là đường cao của tam giác ABC. điện thoại tư vấn M, N thiết bị tự là hình chiếu của H bên trên AB, AC.1) chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.2) chứng minh (angle ABC = angle ANM.)3) chứng minh OA vuông góc với MN.4) cho biết (AH = Rsqrt 2 ). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

- chỉ dẫn giải

Phương pháp giải:

1) minh chứng (angle AMH + angle ANH = 180^0) suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Bạn đang xem: Cho tam giác abc nhọn nội tiếp đường tròn

2) Ta chứng minh hai góc khớp ứng phụ với nhị góc bằng nhau thì bằng nhau.

3) chứng minh (angle OAC + angle ANM = 90^0 Rightarrow OA ot MN.)

Giải bỏ ra tiết:

*

1) chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC ( Rightarrow angle AMH = angle ANH = 90^0)

Xét tứ giác AMHN ta có: (angle AMH + angle ANH = 180^0.)

Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) hội chứng minh (angle ABC = angle ANM.)

Ta bao gồm tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra (angle MAH = angle MNH)

(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).

Mặt khác: (angle BAH + angle ABH = 90^0;;(Delta ABH) vuông tại H).

Xem thêm: Chris Mason To Succeed Laura Kuenssberg As Bbc Political Editor

(angle ANM + angle MNH = 90^0;;left( angle ANH = 90^0 ight))

Suy ra: (angle ABH = angle ANM;;left( = 90^0 - angle MNH ight);;;(dpcm).)

3) minh chứng OA vuông góc cùng với MN.

Kéo lâu năm OA giảm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC tại A’.

Ta có: (angle CA"A = angle ABC) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung AC)

Góc (angle A"CA) chắn nửa đường tròn đề xuất (angle A"CA = 90^0.)

( Rightarrow angle CA"A + angle A"AC = 90^0.) (Tổng nhì góc vào tam giác vuông)

Mà (angle ABC + angle BAH = 90^0;;(Delta ABH) vuông tại H).

( Rightarrow angle BAH = angle A"AC.)

Lại có: (angle ABC = angle ANM;;left( cmt ight))

( Rightarrow angle A"AC + angle ANM = 90^0 Rightarrow OA ot MN;;(dpcm).)

4) mang lại biết (AH = Rsqrt 2 ). Minh chứng M, O, N thẳng hàng.

Xem thêm: Đóng Vai Ông Hai Kể Lại Tâm Trạng Của Mình Khi Nghe Tin Làng Chợ Dầu Theo Giặc

Áp dụng hệ thức lượng vào (Delta AHC) vuông tại H và bao gồm đường cao hà nội ta có:

(eginarraylAH^2 = AN.AC = left( Rsqrt 2 ight)^2 = 2R^2 = AO.AA"\ Rightarrow AN.AC = AO.AA"\ Rightarrow fracANAA" = fracAOAC.endarray)

Xét (Delta AON) cùng (Delta AA"C) ta có:

(eginarraylfracANAA" = fracAOAC;;left( cmt ight)\angle A;;chung\ Rightarrow Delta AON sim Delta ACA";;left( c - g - c ight).\ Rightarrow angle AON = angle ACA" = 90^0endarray)

Chứng minh tương tự như ta có: (angle AOM = angle A"BA = 90^0)

( Rightarrow angle AOM + angle AON = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow O,;M,;N) thẳng mặt hàng (đpcm).