Cách Giải Phương Trình Chứa Căn

     
Phương trình đựng căn – Bất phương trình đựng căn

Các dạng phương trình cất căn bậc hai, bất phương trình đựng căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện thêm nhiều trong số kì thi học kì, thi tuyển chọn sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa căn

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Vẻ ngoài chung để giải phương trình, bất phương trình cất căn bậc 2

Nguyên tắc thông thường để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Mặc dù nhiên, để đảm bảo an toàn việc bình phương này cho họ một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần được có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đông đảo không âm.


Do đó, về phiên bản chất, bọn họ lần lượt kiểm tra 2 trường hòa hợp âm, và không âm của những biểu thức (thường là một vế của phương trình, bất phương trình vẫn cho).



2. Các dạng phương trình đựng căn, bất phương trình chứa căn nguyên bản

Có khoảng chừng 4 dạng phương trình đựng căn, bất phương trình chứa căn cơ bạn dạng đó là


*

3. Bí quyết giải phương trình đựng căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi máu về phương thức giải những dạng phương trình, bất phương trình đựng căn, xin mời thầy cô và các em học viên theo dõi trong clip sau đây.


4. Một vài ví dụ về phương trình cùng bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình


$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$


Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với


<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho có nghiệm tốt nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương tự với


<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình bao gồm nghiệm nhất $x=4$.


Ví dụ 3. Giải phương trình


Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với


<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm nhất $x = 3$.


Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$


Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm nhất $x = 1$.


Ví dụ 5.

Xem thêm: Tên Một Quốc Gia Tại Khu Vực Bắc Mỹ Có Các Quốc Gia Nào, Có Bao Nhiêu Quốc Gia Ở Bắc Mỹ

Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$


Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. Và \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm độc nhất $x = frac-86$.


Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$

Hướng dẫn. Bất phương trình sẽ cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. & left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. Và left( 2 ight)endarray ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$

Lấy đúng theo tập nghiệm của 2 trường hòa hợp trên, được đáp số sau cuối là $S = left< 1;frac145 ight)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với

$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình sẽ cho gồm nghiệm độc nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$

Với đk đó, phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Xem thêm: Bộ Đề Kiểm Tra Toán 9 Học Kì 1 Toán Lớp 9 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign và x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương tự với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>

Kết phù hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.

Xem các ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp chuyển đổi tương đương giải phương trình chứa căn