Các Dạng Bài Tập Về Số Phức

     

Số phức và các dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó khăn hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã thừa quen cùng với số thực trong số những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập về số phức


Vì vậy, ở nội dung bài viết này bossvietnam.vn sẽ khối hệ thống lại những dạng toán về số phức đôi khi hướng dẫn giải pháp giải các dạng bài bác tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài xích tập số phức, các bạn cũng bắt buộc nhớ những nội dung về triết lý số phức.

I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập thích hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
*

2. Màn biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được màn biểu diễn bởi điểm M(a,b) tuyệt bởi 

*
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- đến 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- cho số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang đến phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức cho trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong những acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Bí quyết Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và đặc điểm phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức hoàn toàn có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng giỏi hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: cho số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng thứ nhất của 1 cung cấp số nhân cùng với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ bỏ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, những phép đổi khác để giải quyết bài toán.

° ví dụ như 1: tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức bắt buộc tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, kiếm tìm đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* cách thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài bác toán tương quan tới tính chất của số phức.

♦ các loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức vẫn cho bao gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức sẽ cho tất cả phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức sẽ cho bao gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức vẫn cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ một số loại 2: màn biểu diễn hình học tập của số phức

- giải pháp giải: sử dụng điểm M(a;b) màn biểu diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn trình diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có màn trình diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- cách giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: search mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- có

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ các loại 4: kiếm tìm số đối của số phức

- giải pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ loại 5: kiếm tìm số phức phối hợp của số phức z

- biện pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

Xem thêm: Cách Xóa Wps Office Trên Máy Tính, Gỡ Bỏ Wps Office Free

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ một số loại 6: search số phức nghịch đảo của số phức

- bí quyết giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- bí quyết giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm thế nào để cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* cách thức giải:

♦ nhiều loại 1: Số phức z ưng ý về độ lâu năm (module) khi đó ta áp dụng công thức 

♦ loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi ấy ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập vừa lòng điểm M màn trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài bác ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hòa hợp điểm M là con đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) gọi N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, sẽ là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường tròn trung khu I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Hội chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- mặt khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) và (2) bao gồm VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu lại ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, tốt x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là những số phức a≠0

- biện pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên tất cả 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, search m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- call m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta có hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình tất cả 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đang cho gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và mang về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dấn thấy, z=0 chưa hẳn nghiệm của phương trình bắt buộc chia 2 vế mang lại z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận thấy z=0 không hẳn là nghiệm của phương trình buộc phải chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho hàng loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, phương pháp Euler.

- công thức 1: 

*

- phương pháp 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được call là argument của z ký hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ quá ta tất cả phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý giá của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình vẫn cho gồm 2 nghiệm: 

*

- phương diện khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã cho trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho có nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kỹ năng và kiến thức tìm rất trị

° lấy ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z tất cả modul nhỏ nhất.

Xem thêm: Tin Học 10 Bài Tập Và Thực Hành 9 Tin Học 10, Nội Dung Thực Hành Bài Tập Và Bài Thực Hành 9

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vì vậy các điểm M màn biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên phố tròn tâm I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) cùng gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O rộng và 

*